类EMD的“信号分解方法”及MATLAB实现（第四篇）——VMD (VARIATIONAL MODE DECOMPOSITION)¶

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本文为学习笔记。

VMD（变分模态分解）的概念¶

VMD（Variational Mode Decomposition）即变分模态分解，与2014年由Dragomiretskiy等人提出，虽然它也叫模态分解，但是和之前介绍过的EMD、EEMD、CEEMD、CEEMDAN这些模态分解方法在原理上有本质区别。VMD的整体思路为：

该方法假设任何的信号都是由一系列具有特定中心频率、有限带宽的子信号组成（即IMF）。以经典维纳滤波为基础，通过对变分问题进行求解，得到中心频率与带宽限制，找到各中心频率在频域中对应的有效成分，得到模态函数。其模型构建涉及到维纳滤波、希尔伯特变换和解析信号等知识点。 VMD 的分解过程就是变分问题的求解过程，其算法主要包括变分问题的构造和变分问题的求解。VMD的求解过程主要包含两点约束：（1）要求每个模态分量中心频率的带宽之和最小；（2）所有的模态分量之和等于原始信号。

关于内涵模态分量¶

不同于黄锷先生提出的内涵模态分量（IMF）概念，VMD算法重新定义了约束条件更为严格的有限带宽的本征模态函数，该内涵模态分量被定义为**调幅调频的分量模态函数**，数学表达式为：

\[ u_k(t) = A_k(t) \cos(\phi_k(t)) \]

\(A_k(t)\)为信号\(u_k(t)\)的包络幅值，\(\phi_k(t)\)为瞬时相位。需要注意该函数表征的分量也是同样满足EMD的约束条件的。

变分问题构造¶

由于变分问题涉及到泛函的相关知识，推导过程比较复杂，这里只介绍思路，对于详细过程有兴趣的同学可以直接看方法提出者的论文原文[1]。

所谓变分问题，就是求泛函的极值。在VMD中，泛函指的是VMD约束变分模型，而要求的极值，就是“每个模态分量中心频率的带宽之和最小”。

过去常遇到的是求函数极值，但有时我们需要对自变量也是函数的特殊函数求极值。

这种特殊函数即“函数的函数”，称为泛函，求泛函的极值问题称为变分问题。

构造出来的VMD约束变分模型是这样的[1]：

\[\begin{aligned}\min_{\{u_k\},\{\omega_k\}}\left\{\sum_k\left\|\partial_t\left[\left(\delta(t)+\frac{j}{\pi t}\right)*u_k(t)\right]e^{-j\omega_kt}\right\|_2^2\right\}\\\mathrm{s.t.}\quad\sum_ku_k=f\end{aligned}\]

上式表示的，就是求取“每个模态分量中心频率的带宽之和最小”时的模态函数\(u_k(t)\)和中心频率\(\omega_k\)。

变分问题求解¶

上式的求解过程应用到了比较多的数学工具，包括二次惩罚项、拉格朗日算子以及增广拉格朗日函数等等，详细过程[1]比较复杂，同样不展开说了。

VMD的显著特点¶

VMD思路¶

VMD方法是一种非递归变分模式的信号分解方法，其整体框架为一个变分问题。

VMD的独特优势¶

（1）可以指定想要得到的模态数。

（2）通过VMD方法分解出来的IMF都具有独立的中心频率，并且在频域上表现出稀疏性的特征，具备稀疏研究的特质。

（3）在对IMF求解过程中，通过镜像延拓的方式避免了类似EMD分解中出现的端点效应。

（4）有效避免模态混叠（K值选取合适的情况下）。

VMD的重要参数——模态数K¶

在使用EMD方法时，有很多同学就经常问要怎样指定分解出的IMF数。VMD方法就可以很好地满足这个要求，因为VMD的一个明显特点，就是信号在做VMD分解前，需要先设定模态分量的个数K。但是成也萧何败也萧何，某些应用场合下可指定IMF数属于优点，但是对于某些不预知信号隐含模态数的场景，怎样设置这个K值反而会让人挠头。

若设定的K小于待分解信号中有用成分的个数（欠分解），会造成分解不充分，导致模态混叠；若设定的K值大于待分解信号中有用成分的个数（过分解），就导致产生一些没有用的虚假分量。因此，K值的确定对于VMD就非常重要。

至于如何确定K值，可以从以下几个方面考虑：

（1）某些场景下可以预知模态数目，比如对于某齿轮箱振动数据，通过分析可知信号数据中主要包含齿轮的啮合频率和主轴转动频率，那么K可以设置为2。

（2）可以通过K值从小到大逐个尝试，并结合分解结果分析确定K值：随着K值增大各主要频率段数据能分布到不同IMF分量中，并且没有产生虚假分量，此时K值就是比较合适的。这个方法虽然比较高效且靠谱，但是不便于写到论文中，这就需要用到方法（3）了。

（3）可以使用一些辅助算法，比如使用峭度最大原理、能量差值原则等，或者结合一些寻优算法对K值（也可以同时对α）寻优。

VMD的重要参数——惩罚系数α¶

VMD 分解的过程中，预设的 K 值决定着 IMF 分量的个数，惩罚系数 α 决定着 IMF 分量的带宽。惩罚系数越小，各 IMF 分量的带宽越大，过大的带宽会使得某些分量包含其他分量信号；α值越大，各IMF分量的带宽越小，过小的带宽是使得被分解的信号中某些信号丢失。该系数常见取值范围为1000~3000。

VMD的另一个参数——收敛容差tol¶

是优化的停止准则之一，即在连续两次迭代中，当向 IMF 收敛的绝对平均平方改进小于 tol时，优化停止。通常可以取 1e-6~5e-6。