空间与本体¶

这一页解决什么

机器人"在哪里、能怎么动"。坐标系、旋转、正逆运动学是后面感知、规划、控制、策略学习共同的语言——位姿错一个坐标系，后面所有模块都会错。必修；前置：线性代数（矩阵乘法、正交矩阵）。

学到什么程度¶

刚体位姿与 SE(3)：一个物体相对某坐标系的位姿由旋转 R（3×3 正交矩阵，行列式为 1）和平移 t 组成，写成 4×4 齐次矩阵 T。所有"相机看到的物体在机器人基座下的位置"这类问题，都是一串 T 相乘：T_base_obj = T_base_cam · T_cam_obj。

旋转的几种表示：旋转矩阵直观但有 9 个数、要保持正交；欧拉角只有 3 个数，但有万向锁和角度跳变；四元数无奇异、插值平滑，q 与 −q 表示同一旋转；轴角适合描述"绕哪根轴转多少"。工程上存储和插值用四元数，计算用矩阵，神经网络回归常用连续的 6D 表示。

正运动学与逆运动学：正运动学由关节角算末端位姿，唯一且容易；逆运动学由期望末端位姿反求关节角，可能无解（够不着）、多解（肘上肘下）或在奇异位形附近数值不稳定。

雅可比矩阵：把关节速度映射到末端速度，J 不满秩时就是奇异位形——某个方向的末端运动无论关节怎么动都做不到。速度控制、力控和逆运动学的数值解都依赖它。

动力学：力和力矩如何产生加速度（M(q)q̈ + C(q,q̇)q̇ + g(q) = τ）。纯运动学仿真不需要，力控、高速运动和足式机器人需要。

本体形态：机械臂（操作）、移动底盘（导航）、足式和人形（地形与通用性）、灵巧手（精细操作）。形态决定了自由度、可用传感器和哪些算法适用。

人形派认为世界是为人设计的，一个通用本体可以复用所有人类数据和工具；专用派认为轮式底盘加机械臂在成本、可靠性和能耗上远胜人形，工厂和仓库的大多数任务不需要腿。现实中两者并存：研究和资本关注人形，落地订单多在专用形态。

T_cam_obj 和 T_obj_cam 是什么关系？怎么由一个求另一个？

互为逆变换。T⁻¹ 的旋转部分是 Rᵀ，平移部分是 −Rᵀt；不需要对 4×4 矩阵做通用求逆。

为什么欧拉角不适合做姿态插值或网络回归？

存在万向锁（某些姿态下丢失一个自由度），并且角度在 ±180° 处跳变，导致插值路径不自然、损失函数不连续。

逆运动学为什么会多解或无解？

无解：目标超出工作空间。多解：同一末端位姿可以由不同关节组合实现（如肘上和肘下）。奇异位形附近雅可比不满秩，数值解会发散。

调试机器人时，为什么先查坐标系再查算法？

坐标系方向、单位（米 / 毫米、弧度 / 角度）或变换顺序的错误会表现得像"算法不收敛"，但改算法无效。用一个已知位姿做端到端核对最快。