频域分解法（FDD）/ 增强频域分解法（EFDD）¶

本页对 SHM roadmap 中的 2.5 FDD / EFDD 做展开：通过对输出功率谱密度矩阵做奇异值分解提取振型与频率；EFDD 通过在频段内单模态拟合改进阻尼估计。

概念¶

核心思路 — 对于仅输出数据（环境激励），响应的 功率谱密度（PSD）矩阵 包含模态信息。在每个频率处，对 PSD 矩阵做 奇异值分解（SVD）；主奇异向量（第一左奇异向量）近似振型，第一奇异值（最大）在固有频率处出现峰值。EFDD 通过在每处峰值附近对奇异值曲线拟合单模态模型改进阻尼估计。因此 FDD 的流程是：估计 PSD 矩阵 → 各频率处 SVD → 提取振型与频率 → （EFDD）拟合阻尼。

原理 — 在白噪声或宽频环境激励下，输出 PSD 矩阵 \(\mathbf{S}_{yy}(\omega)\) 可分解为

\[\mathbf{S}_{yy}(\omega) = \sum_{r=1}^{N_m} \frac{d_r \mathbf{\phi}_r \mathbf{\phi}_r^H}{(\omega_r^2 - \omega^2)^2 + (2\zeta_r \omega_r \omega)^2} + \mathbf{S}_n(\omega), \tag{1}\]

式 (1) 符号含义：

\(\mathbf{S}_{yy}(\omega) \in \mathbb{C}^{n \times n}\)：频率 \(\omega\) 处的输出 PSD 矩阵（\(n\) = 传感器数）。
\(N_m\)：模态数。
\(\mathbf{\phi}_r \in \mathbb{C}^n\)：第 \(r\) 阶模态的振型向量。
\(\omega_r, \zeta_r\)：第 \(r\) 阶模态的无阻尼固有频率与阻尼比。
\(d_r\)：模态参与因子（取决于激励与模态）。
\(\mathbf{S}_n(\omega)\)：噪声 PSD 矩阵。
\((\cdot)^H\)：共轭转置。

在固有频率 \(\omega \approx \omega_r\) 附近，第 \(r\) 阶模态占主导，因此 \(\mathbf{S}_{yy}(\omega)\) 的 第一奇异向量 近似 \(\mathbf{\phi}_r\)，第一奇异值 较大。FDD 通过在每个频率线处做 SVD 利用这一特性。

FDD vs EFDD — FDD 给出频率（来自第一奇异值曲线的峰值）与振型（来自各峰值处的第一奇异向量），但 不给出阻尼。EFDD 增加一步：在每个峰值附近，对奇异值曲线拟合单自由度（SDOF）模型以提取阻尼比 \(\zeta_r\)。

详细算法与实现¶

步骤 1：数据准备与 PSD 估计¶

输入： 多通道输出时间序列 \(\{y_i[k]\}\)，\(i = 1, \ldots, n\)，\(k = 1, \ldots, N\)，采样率 \(f_s\)。

PSD 估计（Welch 方法）：

1.1 数据分段： 将每通道数据分成重叠段（如 50% 重叠）。典型段长：1024–4096 样本（根据所需频率分辨率 \(\Delta f = f_s / N_{\text{seg}}\) 调整）。

1.2 加窗： 对每段加窗（如 Hanning、Hamming）以减少频谱泄漏。对通道 \(i\) 的第 \(m\) 段：

\[y_{i,m}^{\text{win}}[k] = w[k] \cdot y_{i,m}[k],\]

其中 \(w[k]\) 为窗函数。

1.3 计算 FFT： 对每个加窗段计算 FFT：

\[Y_{i,m}(\omega_k) = \text{FFT}\{y_{i,m}^{\text{win}}[k]\},\]

其中 \(\omega_k = 2\pi k f_s / N_{\text{seg}}\)，\(k = 0, \ldots, N_{\text{seg}}/2\)。

1.4 估计 PSD 矩阵： 在每个频率线 \(\omega_k\) 处，形成 PSD 矩阵：

\[\mathbf{S}_{yy}(\omega_k) = \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{M} \mathbf{Y}_m(\omega_k) \mathbf{Y}_m^H(\omega_k), \tag{2}\]

其中 \(\mathbf{Y}_m(\omega_k) = [Y_{1,m}(\omega_k), \ldots, Y_{n,m}(\omega_k)]^T\) 为第 \(m\) 段在频率 \(\omega_k\) 处的 FFT 值向量，\(M\) 为段数。

实践要点：

段长： 更长段 → 频率分辨率更好但平均次数少（方差大）。典型：\(f_s = 100\) Hz 时 2048 样本 → \(\Delta f \approx 0.05\) Hz。
重叠： 50% 重叠常见；75% 给出更多平均但计算更多。
窗函数： Hanning 标准；flat-top 用于幅值精度，矩形窗用于瞬态信号。
平均次数： 推荐 \(M \geq 20\) 以稳定估计；更多平均降低方差但需要更长数据。

步骤 2：各频率线处的 SVD¶

对关心的频率范围内的每个频率 \(\omega_k\)：

2.1 提取 PSD 矩阵： 获取 \(\mathbf{S}_{yy}(\omega_k) \in \mathbb{C}^{n \times n}\)（或使用单边 PSD 时为 \(\mathbb{R}^{n \times n}\)）。

2.2 执行 SVD：

\[\mathbf{S}_{yy}(\omega_k) = \mathbf{U}_k \mathbf{\Sigma}_k \mathbf{V}_k^H, \tag{3}\]

其中：

\(\mathbf{U}_k = [\mathbf{u}_{1,k}, \ldots, \mathbf{u}_{n,k}]\)：左奇异向量（列）。
\(\mathbf{\Sigma}_k = \text{diag}(\sigma_{1,k}, \ldots, \sigma_{n,k})\)：奇异值（\(\sigma_{1,k} \geq \sigma_{2,k} \geq \cdots \geq \sigma_{n,k} \geq 0\)）。
\(\mathbf{V}_k\)：右奇异向量（FDD 不需要）。

2.3 存储结果：

第一奇异值： \(\sigma_{1,k}\)（用于找频率峰值）。
第一奇异向量： \(\mathbf{u}_{1,k}\)（在 \(\omega_k\) 处近似振型）。

实现要点：

若仅关心第一阶模态，使用 精简 SVD（仅计算前几个奇异向量）。
对于实 PSD 矩阵（单边），使用实 SVD；对于复矩阵（双边），使用复 SVD。
数值稳定性： 若 \(\mathbf{S}_{yy}(\omega_k)\) 病态（如接近噪声底），第一奇异向量可能不可靠；检查条件数或使用正则化。

步骤 3：提取频率与振型（FDD）¶

频率提取：

3.1 绘制第一奇异值曲线： \(\sigma_1(\omega_k)\) vs \(\omega_k\)（或 \(f_k = \omega_k / (2\pi)\)）。

3.2 识别峰值： 在 \(\sigma_1(\omega_k)\) 中找局部最大值。使用峰值检测：

简单方法： 找满足 \(\sigma_{1,k} > \sigma_{1,k-1}\) 且 \(\sigma_{1,k} > \sigma_{1,k+1}\) 的 bin。
稳健方法： 使用峰值突出度（相对邻域的最小高度）过滤噪声。
亚 bin 精度： 在峰值附近拟合抛物线得到亚 bin 频率估计。

3.3 记录峰值频率： 对每个峰值 \(r\)，记录频率 \(\omega_r\)（或 \(f_r\)）。

振型提取：

3.4 在每个峰值频率 \(\omega_r\) 处：

提取第一奇异向量：\(\mathbf{\phi}_r \approx \mathbf{u}_{1,k_r}\)，其中 \(k_r\) 为峰值 \(r\) 的频率 bin 索引。
归一化： 通常归一化为单位范数或将最大分量设为 1：

\[\mathbf{\phi}_r \leftarrow \frac{\mathbf{\phi}_r}{\|\mathbf{\phi}_r\|} \quad \text{或} \quad \mathbf{\phi}_r \leftarrow \frac{\mathbf{\phi}_r}{\max_i |\phi_{r,i}|}.\]

3.5 处理复振型： 若 \(\mathbf{\phi}_r\) 为复数（来自复 SVD），可：

使用幅值 \(|\mathbf{\phi}_r|\) 作为实振型（轻阻尼结构常见）。
使用实部 \(\text{Re}(\mathbf{\phi}_r)\)（若结构为实值）。
保留复数（若结构有复模态，如陀螺效应、非比例阻尼）。

实践要点：

峰值选择： 仅选择明显高于噪声底的峰值。经验规则：\(\sigma_{1,\text{peak}} > 2 \cdot \sigma_{1,\text{noise}}\)，其中 \(\sigma_{1,\text{noise}}\) 为非共振区 \(\sigma_1\) 的平均值。
密模态： 若两峰值非常接近（几个频率 bin 内），第一奇异向量可能混合两阶模态。使用第二奇异向量或应用 EFDD/SSI 以更好分离。
振型一致性： 检查附近频率（同一峰值区域内）的振型是否相似；大变化表明噪声或模态混合。

步骤 4：阻尼估计（EFDD）¶

EFDD 通过在每处峰值附近拟合单模态模型增加阻尼估计。

对每个在频率 \(\omega_r\) 处的已识别峰值：

4.1 选择频段： 在 \(\omega_r\) 附近选择频段：\([\omega_r - \Delta\omega, \omega_r + \Delta\omega]\)，其中 \(\Delta\omega\) 通常为预期带宽的 2–5 倍（如已知阻尼近似值，\(\Delta\omega \approx 5 \zeta_r \omega_r\)）。

4.2 提取奇异值曲线： 在此频段内，提取该频段内所有频率 bin \(k\) 的 \(\sigma_1(\omega_k)\)。

4.3 拟合 SDOF 模型： 将理论 SDOF 响应拟合到奇异值曲线。模型为：

\[\sigma_1(\omega) \approx \frac{A}{(\omega_r^2 - \omega^2)^2 + (2\zeta_r \omega_r \omega)^2}, \tag{4}\]

其中 \(A\) 为幅值因子。

4.4 优化： 最小化测量 \(\sigma_1(\omega_k)\) 与模型 (4) 之间的误差，对 \(\omega_r\) 和 \(\zeta_r\)（及可选的 \(A\)）优化。使用非线性优化（如 Levenberg–Marquardt、Gauss–Newton）：

\[\min_{\omega_r, \zeta_r, A} \sum_{k \in \text{band}} \left| \sigma_1(\omega_k) - \frac{A}{(\omega_r^2 - \omega_k^2)^2 + (2\zeta_r \omega_r \omega_k)^2} \right|^2. \tag{5}\]

4.5 提取阻尼： 优化得到的 \(\zeta_r\) 即为阻尼比估计。

实践要点：

初值： 使用步骤 3 的峰值频率作为初值 \(\omega_r\)；使用典型阻尼（如土木结构 0.01，机械系统 0.05）或先验知识作为初值 \(\zeta_r\)。
频段宽度选择： 太窄 → 数据不足；太宽 → 包含邻近模态。从 \(\Delta\omega \approx 3 \zeta_r \omega_r\) 开始并调整。
收敛性： 若优化不收敛，模态可能太接近另一模态或阻尼太轻；尝试更窄频段或仅使用 FDD 频率（不估计阻尼）。
验证： 检查拟合曲线与测量 \(\sigma_1\) 的视觉匹配；大残差表明拟合差（可能因模态混合或噪声）。

完整操作步骤（逐步）¶

输入： 多通道时间序列 \(\{y_i[k]\}\)，\(i = 1, \ldots, n\)，\(k = 1, \ldots, N\)，采样率 \(f_s\)。

步骤 1：预处理

1.1 去除直流：\(y_i[k] \leftarrow y_i[k] - \text{mean}(y_i)\)。

1.2 （可选）去趋势：若存在线性趋势则去除。

1.3 （可选）滤波：应用带通滤波聚焦到关心的频率范围。

步骤 2：PSD 矩阵估计

2.1 选择段长 \(N_{\text{seg}}\)（如 2048）与重叠（如 50%）。

2.2 对每通道 \(i\)，计算所有段的加窗 FFT。

2.3 在每个频率 bin \(k\)，使用 (2) 形成 \(\mathbf{S}_{yy}(\omega_k)\)。

2.4 结果：频率 bin \(k = 0, \ldots, N_{\text{seg}}/2\) 的 PSD 矩阵 \(\mathbf{S}_{yy}(\omega_k)\)。

步骤 3：各频率处 SVD

3.1 对每个 \(\omega_k\)：计算 SVD \(\mathbf{S}_{yy}(\omega_k) = \mathbf{U}_k \mathbf{\Sigma}_k \mathbf{V}_k^H\)；存储 \(\sigma_{1,k}\)（第一奇异值）与 \(\mathbf{u}_{1,k}\)（第一奇异向量）。

3.2 结果：\(\sigma_1(\omega_k)\) 曲线与 \(\mathbf{u}_1(\omega_k)\) 向量。

步骤 4：频率识别（FDD）

4.1 绘制 \(\sigma_1(\omega_k)\) vs \(f_k = \omega_k / (2\pi)\)。

4.2 使用峰值检测（带突出度阈值）识别峰值。

4.3 对每个峰值 \(r\)，记录频率 \(f_r\)（若拟合则含亚 bin 精度）。

步骤 5：振型提取（FDD）

5.1 对每个在频率 bin \(k_r\) 处的峰值 \(r\)：提取振型 \(\mathbf{\phi}_r = \mathbf{u}_{1,k_r}\)；归一化（单位范数或最大分量 = 1）；（可选）检查与附近 bin 的一致性。

5.2 结果：\(r = 1, \ldots, N_m\) 的振型 \(\mathbf{\phi}_r\)。

步骤 6：阻尼估计（EFDD，可选）

6.1 对每个峰值 \(r\)：选择 \(f_r\) 附近的频段；提取该频段内的 \(\sigma_1(\omega_k)\)；使用优化 (5) 拟合 SDOF 模型 (4)；提取阻尼比 \(\zeta_r\)。

6.2 结果：\(r = 1, \ldots, N_m\) 的阻尼比 \(\zeta_r\)。

输出： 模态参数：频率 \(f_r\)，振型 \(\mathbf{\phi}_r\)，阻尼比 \(\zeta_r\)（若使用 EFDD）。

适用情形与局限¶

适用：

仅输出数据（环境激励、运行工况）。
多个传感器（至少 2 个，建议 4+ 以可靠得到振型）。
宽频或白噪声激励（确保所有模态被激励）。
模态较分离（FDD 在模态不太接近时效果最好）。
中等阻尼（极轻阻尼：峰值尖锐，EFDD 拟合可能困难；极重阻尼：峰值宽，难以分离）。

局限：

FDD 不给出阻尼： FDD 仅给出频率与振型；需要 EFDD 得到阻尼。
密模态： 当模态非常接近（几个频率 bin 内）时，第一奇异向量可能混合模态；使用第二/第三奇异向量或改用 SSI。
振型精度： 奇异向量为近似；精度取决于信噪比、传感器数与模态分离度。
激励假设： 假设白噪声或宽频激励；窄带激励可能偏置结果。
计算成本： 各频率线处 SVD；对多频率与多传感器，成本为 \(O(n^3 \cdot N_f)\)，其中 \(N_f\) 为频率 bin 数。

工程实践：详细指南¶

PSD 估计参数¶

参数	典型值	说明
段长 \(N_{\text{seg}}\)	1024–4096 样本	更长 → 频率分辨率更好；更短 → 更多平均。根据 \(f_s\) 与所需 \(\Delta f\) 选择。
重叠	50%（标准），75%（更多平均）	更多重叠 → 更多平均但计算更多。
窗函数	Hanning（标准），Hamming，flat-top	Hanning：平衡好；flat-top：幅值精度；矩形窗：瞬态信号。
平均次数 \(M\)	\(\geq 20\)（推荐）	更多平均 → 更低方差但需要更长数据。
频率分辨率 \(\Delta f\)	\(f_s / N_{\text{seg}}\)	典型：土木结构 0.05–0.1 Hz（如 \(f_s = 100\) Hz，\(N_{\text{seg}} = 2048\) → \(\Delta f \approx 0.05\) Hz）。

峰值检测与模态选择¶

方面	指南
峰值突出度	设置阈值：\(\sigma_{1,\text{peak}} > 2 \cdot \sigma_{1,\text{noise}}\)（或使用自动突出度）。
亚 bin 频率	在峰值附近拟合抛物线：\(f_{\text{peak}} = f_k + \delta\)，其中 \(\delta\) 来自抛物线顶点。
密模态	若峰值在 3–5 个 bin 内，检查第二奇异向量；若仍混合，使用 SSI。
虚假峰值	检查振型一致性；虚假峰值有不一致或噪声大的振型。
频率范围	聚焦到预期模态范围（如桥梁 0.1–10 Hz，建筑 1–50 Hz）。

EFDD 阻尼拟合¶

方面	指南
频段宽度	从 \(\Delta\omega \approx 3 \zeta_r \omega_r\) 开始；若拟合差则调整（密模态更窄，噪声大更宽）。
初值	\(\omega_r\)：来自 FDD 峰值；\(\zeta_r\)：0.01（土木），0.05（机械），或先验知识。
优化方法	Levenberg–Marquardt 稳健；Gauss–Newton 在接近解时更快。
收敛性	若失败，尝试更窄频段、不同初值，或跳过阻尼（仅使用 FDD 频率）。
验证	绘制拟合曲线 vs 测量 \(\sigma_1\)；大残差表明拟合差（模态混合或噪声）。

常见问题与解决方案¶

问题	症状	解决方案
奇异值曲线噪声大	许多小峰值，振型不稳定	增加平均次数 \(M\)；使用更长段；对 \(\sigma_1\) 曲线平滑。
模态混合	峰值附近振型快速变化	检查第二/第三奇异向量；EFDD 使用更窄频段；改用 SSI。
缺失模态	预期模态未在 \(\sigma_1\) 曲线中找到	检查激励是否覆盖该频率；增加频率分辨率；检查传感器布设（避开节点）。
阻尼拟合差	EFDD 优化失败或给出不现实 \(\zeta\)	尝试不同初值；调整频段；检查模态是否太接近；仅使用 FDD。
振型不一致	附近频率振型变化大	检查信噪比；增加平均；验证传感器同步；检查非线性。

边缘与在线计算¶

是否适用 — 较适用。仅输出（无需输入测量）；各频率线 SVD 可分批处理；通道与频率线不多时算力可接受。但 PSD 估计需要缓冲，EFDD 阻尼拟合增加计算。

实现策略：

PSD 估计（滑动窗 Welch 或块处理）
1.1 每通道缓冲 \(N_{\text{seg}}\) 样本。
1.2 计算当前块的加窗 FFT。
1.3 更新 PSD 估计（指数移动平均或块平均）。
1.4 折中：更多平均 → 质量更好但延迟更大。
SVD 计算（对每个频率 bin）
2.1 精简 SVD — 仅计算前 1–2 个奇异向量（多数模态在第一）。
2.2 批处理 — 若硬件允许，并行处理多个频率 bin。
2.3 增量更新 — 对慢变系统，增量更新 SVD（如 rank-1 更新）。
峰值检测： 轻量（比较与局部拟合）；可实时运行。
EFDD 阻尼： 更昂贵（非线性优化）；选项：
4.1 离线或在云端运行 EFDD（上传峰值频率，下载阻尼）。
4.2 使用来自基线的 预计算阻尼（假设阻尼变化不大）。
4.3 在边缘 跳过 EFDD，仅使用 FDD 频率（阻尼来自其他方法或先验）。

实用边缘部署：

分级链路：
1.1 边缘 — PSD 估计 + SVD + 峰值检测 → 频率与振型（FDD）。
1.2 云端/离线 — 对已识别峰值做 EFDD 阻尼拟合。
资源限制：
2.1 限制频率 bin 数（聚焦到预期模态范围）。
2.2 限制传感器数（需要时使用子集）。
2.3 使用精简 SVD（仅前 1–2 阶模态）。
实时筛查： 将 FDD 频率与基线比较；标记显著漂移；上传可疑片段做完整分析。

挑战：

内存： PSD 矩阵与 SVD 结果需要存储；限制频率范围与传感器。
计算： 各频率处 SVD；对多 bin，MCU 上成本显著。
延迟： PSD 需要缓冲；实时更新有延迟（如 \(N_{\text{seg}} / f_s\) 秒）。
质量： 边缘信噪比可能更低；更少平均 → 结果更噪声；使用平滑或更长缓冲。

与其他方法比较¶

FDD vs PP：

FDD： 使用 PSD 矩阵 SVD → 对噪声更稳健，密模态更好，直接给出振型。
PP： 更简单（仅在谱上峰值拾取）→ 更快，稳健性差，振型来自幅值比。

FDD vs SSI：

FDD： 频域，非参数 → 更简单，无需阶次选择，但无阻尼（需要 EFDD）。
SSI： 时域，参数 → 更准确，给出阻尼，但需要阶次选择与更多计算。

FDD vs EFDD：

FDD： 快，给出频率与振型，无阻尼。
EFDD： 增加通过 SDOF 拟合的阻尼估计 → 更完整但更慢。

何时选择：

使用 FDD 进行快速筛查、模态较分离、阻尼不关键时。
使用 EFDD 当需要阻尼且模态合理分离时。
使用 SSI 追求最高精度、密模态、或需要完整模态模型时。